Calculatrice de dérivées

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Comment les allocations de résolution sont-elles utilisées ?

Les mathématiques, la physique, la chimie et tous les outils d'IA partagent votre allocation de régime.

Chaque soumission d'IA standard réussie utilise une résolution standard. Le raisonnement profond utilise plutôt une résolution approfondie. Les deux comptent dans la limite de résolution quotidienne.

Les photos et les pages PDF sélectionnées utilisent également une résolution de photo quotidienne par soumission. Le téléchargement d'un fichier ou la sélection d'une page ne démarre pas une résolution. Le téléchargement de PDF nécessite Plus ou Pro.

Les calculs locaux, les exemples concrets, les astuces, la copie des réponses et les réponses mises en cache n'utilisent aucune solution.

Les échecs techniques renvoient la solution réservée. Une nouvelle tentative automatique est incluse dans la même soumission. Une nouvelle soumission IA réussie compte à nouveau, même si elle fait suite à une réponse antérieure.

Indices étape par étape

Essayez :

Exemple corrigé

Solution étape par étape

$\frac{d}{dx}\left[x^2 \sin x\right]$

Étape 1 / 3

Appliquez la règle du produit

La fonction est le produit de f = x² et g = sin x.

\frac{d}{dx}[fg] = f'g + fg'

Comment utiliser la Calculatrice de dérivées

Saisissez une fonction : cette calculatrice de dérivées la dérive étape par étape, en nommant la règle de la puissance, du produit, du quotient ou de la composée à chaque utilisation, puis simplifie le résultat.

Saisissez la fonction, par exemple x² sin(x). Utilisez ^ pour les puissances et des parenthèses pour les arguments.
Cliquez sur Résoudre pour dériver par rapport à x (écrivez « par rapport à t » pour changer de variable).
Le titre de chaque étape nomme la règle appliquée, pour la retrouver dans votre cours.
La dernière étape simplifie la dérivée.

Les règles derrière chaque dérivée

(fg)' = f'g + fg'

La plupart des dérivées découlent de quelques règles. La règle de la puissance traite xⁿ, celle du produit f·g, celle du quotient f/g et la dérivée d’une fonction composée traite une fonction à l’intérieur d’une autre.

Repérer la structure la plus extérieure indique quelle règle appliquer en premier. Pour x² sin(x), c’est un produit : la règle du produit vient d’abord, puis la règle de la puissance et la dérivée du sinus complètent le calcul.

Exemple du calculateur de dérivées : fonction composée

\frac{d}{dx}\ln(3x^2+1)=\frac{6x}{3x^2+1}

Pour ln(3x² + 1), repérez deux niveaux avant de dériver. La fonction extérieure est ln(u), de dérivée 1/u. La fonction intérieure est u = 3x² + 1, de dérivée 6x. Multipliez la dérivée extérieure, évaluée en l’expression intérieure, par la dérivée intérieure pour obtenir 6x/(3x² + 1). Oublier cette multiplication est une erreur fréquente lors de la dérivation d’une fonction composée.

Le calculateur de dérivées doit expliquer l’origine du facteur 6x, au lieu de présenter uniquement une fraction. Le logarithme exige un argument positif ; ici 3x² + 1 est positif pour tout réel x. La fonction initiale et sa dérivée sont donc définies sur tous les réels. Pour un autre logarithme, vérifiez son argument avant de remplacer x par une valeur.

Exemple du calculateur de dérivées : règle du quotient

\frac{d}{dx}\frac{x+1}{x-1}=\frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)^2}=\frac{-2}{(x-1)^2}

Pour (x + 1)/(x − 1), utilisez la règle du quotient : multipliez la dérivée du numérateur par le dénominateur initial, soustrayez le numérateur initial multiplié par la dérivée du dénominateur, puis divisez par le carré du dénominateur. Les deux dérivées simples valent 1 ; le numérateur devient (x − 1) − (x + 1). Distribuez soigneusement le signe moins pour obtenir −2.

La fonction initiale n’est pas définie en x = 1 et sa dérivée ne l’est pas non plus. Conservez cette restriction avec la réponse simplifiée. Dériver séparément le numérateur et le dénominateur puis diviser leurs dérivées donnerait 1, ce qui est faux. Les étapes de la règle du quotient expliquent la contribution du dénominateur variable.

Évaluer une dérivée en un point ou dériver une seconde fois

\frac{d^2}{dx^2}(x^2\sin x)=2\sin x+4x\cos x-x^2\sin x

Pour calculer la pente de x² sin(x) en x = π, dérivez d’abord la fonction, puis remplacez x par π dans 2x sin(x) + x² cos(x). Comme sin(π) = 0 et cos(π) = −1, la pente vaut −π². Une substitution dans la fonction initiale donnerait sa hauteur, pas sa pente. Pour la dérivée seconde, appliquez la règle du produit à chaque terme de la première dérivée et réunissez les deux termes 2x cos(x) en 4x cos(x).

Questions fréquentes

Peut-elle calculer des dérivées secondes ?

Oui. Demandez « la dérivée seconde de … » : elle dérive deux fois et montre les deux calculs.

Gère-t-elle la dérivation implicite ?

Oui. Saisissez une équation comme x² + y² = 25 et demandez dy/dx ; les étapes dérivent les deux membres puis isolent dy/dx.

Puis-je évaluer la dérivée en un point ?

Ajoutez le point, par exemple « dérivée de x² sin(x) en x = π », et la dernière étape le remplace.

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