Ableitungsrechner

Tipp: Foto hierher ziehen oder Screenshot einfügen (Strg+V)

Wie werden Lösungszulagen verwendet?

Mathematik, Physik, Chemie und alle KI-Tools teilen sich Ihre Planvergütung.

Für jede erfolgreiche Standard-KI-Einreichung wird eine Standardlösung verwendet. Deep Reasoning verwendet stattdessen eine tiefe Lösung. Beide zählen zum täglichen Lösungslimit.

Für Fotos und ausgewählte PDF-Seiten wird außerdem eine tägliche Fotolösung pro Einreichung verwendet. Durch das Hochladen einer Datei oder das Auswählen einer Seite wird keine Lösung gestartet. Für den PDF-Upload ist Plus oder Pro erforderlich.

Lokale Berechnungen, ausgearbeitete Beispiele, Hinweise, das Kopieren von Antworten und zwischengespeicherte Antworten verwenden keine Lösungen.

Technische Fehler geben die reservierte Lösung zurück. Ein automatischer Wiederholungsversuch ist in derselben Übermittlung enthalten. Eine neue erfolgreiche KI-Einreichung zählt erneut, auch wenn sie auf eine frühere Antwort folgt.

Hinweise Schritt für Schritt

Probier:

Durchgerechnetes Beispiel

Lösung mit Rechenweg

$\frac{d}{dx}\left[x^2 \sin x\right]$

Schritt 1 / 3

Produktregel anwenden

Die Funktion ist das Produkt von f = x² und g = sin x.

\frac{d}{dx}[fg] = f'g + fg'

So nutzt du den Ableitungsrechner

Gib eine Funktion ein: Dieser Ableitungsrechner leitet sie Schritt für Schritt ab, nennt jedes Mal die Potenz-, Produkt-, Quotienten- oder Kettenregel und vereinfacht das Ergebnis.

Gib die Funktion ein, zum Beispiel x² sin(x). Nutze ^ für Potenzen und Klammern für Argumente.
Klicke auf Lösen, um nach x abzuleiten (schreibe „nach t“, um die Variable zu ändern).
Der Titel jedes Schritts nennt die angewendete Regel, damit du sie im Heft wiederfindest.
Im letzten Schritt wird die Ableitung vereinfacht.

Die Regeln hinter jeder Ableitung

(fg)' = f'g + fg'

Die meisten Ableitungen ergeben sich aus wenigen Regeln: Die Potenzregel gilt für xⁿ, die Produktregel für f·g, die Quotientenregel für f/g und die Kettenregel für eine Funktion in einer anderen Funktion.

Die äußerste Struktur zeigt, welche Regel zuerst kommt. Bei x² sin(x) ist das ein Produkt, also zuerst die Produktregel; Potenzregel und Ableitung des Sinus ergänzen die Teile.

Beispiel zum Ableitungsrechner: Kettenregel

\frac{d}{dx}\ln(3x^2+1)=\frac{6x}{3x^2+1}

Erkenne bei ln(3x² + 1) vor dem Ableiten die beiden Ebenen. Die äußere Funktion ist ln(u) mit der Ableitung 1/u. Die innere Funktion ist u = 3x² + 1 mit der Ableitung 6x. Multipliziere die äußere Ableitung, eingesetzt an der inneren Funktion, mit der inneren Ableitung. Das ergibt 6x/(3x² + 1). Diese letzte Multiplikation zu vergessen ist ein häufiger Fehler bei der Kettenregel.

Der Ableitungsrechner sollte erklären, woher der Faktor 6x stammt, statt nur einen Bruch anzugeben. Der Logarithmus benötigt ein positives Argument. Hier ist 3x² + 1 für jedes reelle x positiv, sodass die Funktion und ihre Ableitung für alle reellen Eingaben definiert sind. Prüfe bei einem anderen Logarithmus das Argument, bevor du einen Wert einsetzt.

Beispiel zum Ableitungsrechner: Quotientenregel

\frac{d}{dx}\frac{x+1}{x-1}=\frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)^2}=\frac{-2}{(x-1)^2}

Verwende für (x + 1)/(x − 1) die Quotientenregel: Multipliziere die Ableitung des Zählers mit dem ursprünglichen Nenner, subtrahiere den ursprünglichen Zähler mal die Ableitung des Nenners und teile durch das Quadrat des Nenners. Beide einfachen Ableitungen sind 1, sodass im Zähler (x − 1) − (x + 1) steht. Achte beim Auflösen der Klammern auf das Minuszeichen; das Ergebnis ist −2.

Die ursprüngliche Funktion ist bei x = 1 nicht definiert, ebenso wenig ihre Ableitung. Behalte diese Einschränkung bei der vereinfachten Antwort bei. Zähler und Nenner getrennt abzuleiten und die Ableitungen zu dividieren würde fälschlich 1 ergeben. Die Schritte der Quotientenregel zeigen, wie der veränderliche Nenner zum Ergebnis beiträgt.

Eine Ableitung an einer Stelle auswerten oder erneut ableiten

\frac{d^2}{dx^2}(x^2\sin x)=2\sin x+4x\cos x-x^2\sin x

Um die Steigung von x² sin(x) bei x = π zu bestimmen, leite zuerst ab und setze dann π in 2x sin(x) + x² cos(x) ein. Wegen sin(π) = 0 und cos(π) = −1 beträgt die Steigung −π². Einsetzen in die ursprüngliche Funktion liefert die Höhe, nicht die Steigung. Wende für die zweite Ableitung die Produktregel auf jeden Term der ersten Ableitung an und fasse die beiden Terme 2x cos(x) zu 4x cos(x) zusammen.

Häufige Fragen

Kann er zweite Ableitungen berechnen?

Ja. Frage nach „der zweiten Ableitung von …“, dann leitet er zweimal ab und zeigt beide Durchgänge.

Beherrscht er implizites Ableiten?

Ja. Gib eine Gleichung wie x² + y² = 25 ein und frage nach dy/dx; die Schritte leiten beide Seiten ab und lösen nach dy/dx auf.

Kann ich die Ableitung an einer Stelle auswerten?

Füge die Stelle hinzu, etwa „Ableitung von x² sin(x) bei x = π“, und der letzte Schritt setzt sie ein.

Haben Sie ein Matheproblem der anderen Art? Probieren Sie es kostenlos aus Mathe-Löser. Nutzen Sie das Fachmenü für Physik und Chemie.