Faktorisierungsrechner

Tipp: Foto hierher ziehen oder Screenshot einfügen (Strg+V)

Wie werden Lösungszulagen verwendet?

Mathematik, Physik, Chemie und alle KI-Tools teilen sich Ihre Planvergütung.

Für jede erfolgreiche Standard-KI-Einreichung wird eine Standardlösung verwendet. Deep Reasoning verwendet stattdessen eine tiefe Lösung. Beide zählen zum täglichen Lösungslimit.

Für Fotos und ausgewählte PDF-Seiten wird außerdem eine tägliche Fotolösung pro Einreichung verwendet. Durch das Hochladen einer Datei oder das Auswählen einer Seite wird keine Lösung gestartet. Für den PDF-Upload ist Plus oder Pro erforderlich.

Lokale Berechnungen, ausgearbeitete Beispiele, Hinweise, das Kopieren von Antworten und zwischengespeicherte Antworten verwenden keine Lösungen.

Technische Fehler geben die reservierte Lösung zurück. Ein automatischer Wiederholungsversuch ist in derselben Übermittlung enthalten. Eine neue erfolgreiche KI-Einreichung zählt erneut, auch wenn sie auf eine frühere Antwort folgt.

Hinweise Schritt für Schritt

Probier:

Durchgerechnetes Beispiel

Lösung mit Rechenweg

$6x^2 + 11x - 10$

Schritt 1 / 4

Gemeinsamen Faktor suchen

6, 11 und 10 haben keinen gemeinsamen Faktor, also weiter.

So nutzt du den Faktorisierungsrechner

Gib ein Polynom ein: Dieser Faktorisierungsrechner zerlegt es vollständig über den ganzen Zahlen, nennt in jedem Schritt das verwendete Verfahren und multipliziert am Ende aus, um das Ergebnis zu bestätigen.

Gib den Term ein, den du faktorisieren willst, zum Beispiel 6x² + 11x − 10.
Klicke auf Lösen. Der Rechner klammert zuerst den größten gemeinsamen Faktor aus.
Dann wählt er das passende Verfahren: Trinom (ac-Methode), dritte binomische Formel, Summe oder Differenz von Kuben oder Gruppieren.
Im letzten Schritt werden die Faktoren zur Probe ausmultipliziert.

Faktorisieren mit der ac-Methode

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

Um ax² + bx + c zu faktorisieren, suchst du zwei Zahlen, deren Produkt a·c und deren Summe b ist. Zerlege den mittleren Term mit diesen Zahlen und faktorisiere durch Gruppieren. Gibt es keine solchen ganzen Zahlen, ist der Term über den ganzen Zahlen nicht zerlegbar.

Suche immer zuerst einen gemeinsamen Faktor; das erleichtert alle weiteren Schritte. Die binomischen Formeln wie a² − b² = (a − b)(a + b) solltest du auf einen Blick erkennen.

Beispiel zum Faktorisierungsrechner: Differenz zweier Kuben

x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)

Bei x³ − 27 sind beide Terme Kuben: x³ ist die dritte Potenz von x und 27 die dritte Potenz von 3. Verwende a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) mit a = x und b = 3. Der erste Faktor lautet x − 3, der zweite x² + 3x + 9. Dieses Muster faktorisiert einen kubischen Ausdruck, ohne mehrere Zahlenpaare erraten zu müssen.

Prüfe das Ergebnis des Faktorisierungsrechners durch Ausmultiplizieren beider Faktoren. Die mittleren Terme heben sich auf und ergeben wieder x³ − 27. Faktorisieren schreibt den ursprünglichen Ausdruck als Produkt. Sollst du stattdessen x³ − 27 = 0 über den reellen Zahlen lösen, ist die reelle Lösung x = 3. Gib diese Gleichung und den Zahlenbereich an, bevor du aus Faktoren Lösungen ableitest.

Faktorisierungsbeispiel: Quadrate und gemeinsamer Faktor

4x^3-36x=4x(x^2-9)=4x(x-3)(x+3)

Der Ausdruck 4x² − 9y² ist eine Differenz zweier Quadrate, nämlich (2x)² und (3y)². Mit a² − b² = (a − b)(a + b) erhältst du (2x − 3y)(2x + 3y). Ein Pluszeichen zwischen den ursprünglichen Quadraten verlangt eine andere Untersuchung; die Regel gilt nicht für eine Summe von Quadraten.

Klammere bei 4x³ − 36x zuerst den größten gemeinsamen Faktor 4x aus. Übrig bleibt x² − 9, sodass dasselbe Quadratmuster zu 4x(x − 3)(x + 3) führt. Der gemeinsame Faktor muss im Ergebnis stehen: Ohne 4x entsteht ein anderes Polynom. Multipliziere das gesamte Produkt aus, um den führenden Term und die Terme mit niedrigerem Grad zu prüfen.

Häufige Fragen

Was bedeutet vollständig faktorisieren?

Jeder Faktor ist unzerlegbar: Keiner lässt sich über den ganzen Zahlen weiter faktorisieren. Zum Beispiel ist 2x² − 8 = 2(x − 2)(x + 2), nicht nur 2(x² − 4).

Kann er Polynome mit zwei Variablen faktorisieren?

Ja. Terme wie 4x² − 9y² oder x² + 5xy + 6y² nutzen dieselben Verfahren mit beiden Variablen.

Was, wenn sich ein Polynom nicht faktorisieren lässt?

Der Rechner erklärt den Grund, etwa wenn kein ganzzahliges Paar das Produkt ac und die Summe b hat, und gibt an, dass der Term über den ganzen Zahlen unzerlegbar ist.

Haben Sie ein Matheproblem der anderen Art? Probieren Sie es kostenlos aus Mathe-Löser. Nutzen Sie das Fachmenü für Physik und Chemie.